СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ПРИКЛАДНОМУ КУРСУ

 МАТЕМАТИКИ ДЛЯ 10 КЛАССА.

 «Практикум  по решению задач»

(1 час в неделю, всего 34часа)

СШ №5

Учитель математики:Шарипова А.С.

        В сборнике  рассмотрены задания на теорию множеств и математическую логику, задания на применение метода математической индукций. А так же в сборник включены уравнения и неравенства: тригонометрические, иррациональные, уравнения и неравенства с модулем. В  конце сборника рассмотрены задания на исследование функций.

        В начале каждого  параграфа дается небольшой теоретический материал , рассматриваются различные способы решения основных видов задач. Далее предлагается система упражнений , рассмотренных в порядке нарастания трудности.

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА.

             Данный сборник задач разработан к программе « Прикладной курс изучения математики в 10 классе»

            Решение заданий из этого сборника поможет учащимся при подготовке к ЕНТ . Так как  в сборник  входят  задания , например из следующих тем:«Уравнения неравенства с модулем», «Иррациональные уравнения и неравенства», «Уравнения, содержащие обратные тригонометрические функции.» Эти темы не содержатся в  базовой программе, но входят в задания ЕНТ. Так же более широко предлагается рассмотреть тему: «Тригонометрические уравнения и неравенства».В этой теме рассматриваются более сложные тригонометрические уравнения и неравенства чем в базовом курсе. При решении уравнении и неравенств  часто происходит потеря корня или появляются лишние корни при переходе от одного уравнения к другому, поэтому  вначале сборника задач, как повторение, предлагается рассмотреть тему «Равносильные уравнения и неравенства».В разделе «Начала матанализа» рассматриваются задания  из группы Б и С сборника задач Сканави М.И..Успешное решение задач  из этих групп способствует развитию самостоятельного логического мышления и высокой математической культуры.В разделе «Теория множеств» рассматриваются основы теории множеств и мат.логики ,а также метод математической индукцию.Его значение в познавательном и методическом отношении велико.

           Решение  задач из сборника позволит:развивать  интерес учащихся  к предмету, умение  самостоятельно мыслить, логическое мышление, повысить уровень учебной мотивации,более высокий уровень ЗУН,развивать математическую культуру.

	Содержание	страница
Глава1. 1. 2. Глава2. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. Глава3.  1. 2. Глава4 1. 2. Глава5 1. 2. 3. Глава 6 1. 2. 3.	Равносильные уравнения и неравенства.                                                                                              Равносильные уравнения. Равносильные неравенства                                                                      Тригонометрические уравнения и неравенства. Уравнения,сводимые к алгебраическим.                       Однородные уравнения. Уравнения, решаемые разложением на множители. Уравнения, решаемые с помощью условия равенства одноименных тригонометрических функций. Уравнения, решаемые с помощью формул сложения тригонометрических функций. Уравнения, решаемые с помощью формул сложения углов и разложения произведения тригонометрических функций в сумму. Уравнения, решаемые с помощью формул понижения степени. Уравнения, вида а sin x +b cos x=c ,где а,в,с-действительные числ Уравнения, содержащие обратные тригонометрические функции. Тригонометрические неравенства. Уравнения  и неравенства с модулем. Уравнения, содержащие знак абсолютной величины. Неравенства, содержащие знак абсолютной величины. Иррациональные уравнения и неравенства. Иррациональные уравнения. Иррациональные неравенства. Теория множеств. Множество. Операции над множествами. Математическая логика. Высказывания. Конъюнкция и дезъюнкция высказываний. Импликация. Эквивалентность высказываний. Метод математической индукций. Начала  математического анализа. Предел. Свойства предела. Производная.Примеры применения производной к исследованию функции. Наибольшее и наименьшее значения функции.	3 4 5-7 8-10 11-12 13-15 16-18 19-21 22-24 25-27 28-29 30-31 32-33 34-35 36-38 39-40 41-43 44-45 46 47 48 49

Ответ:

х₁=-3,х₂=3

Задания:

1. Решить уравнение:

2.Решить уравнение:

3.Решить уравнение:

4.Решить уравнение:

п.2 Равносильные неравенства

Пример 1. Найти целые положительные значения х,удовлетворяющие неравенству

2х+2

Перенеся все слагаемые в левую часть, имеем

Приводя к общему знаменателю, получим:

Приведя подобные, получаем

Это неравенство эквивалентно следующему

(2х²-5х-3)(х-1)<0

или,разложив квадратный трехчлен на множители:

2

С помощью числовой прямой найдем:

Х=2

Рисунок числовой прямой:

Ответ:х=2

Пример 2. Решить неравенство:

Имеем

Приводим дроби к общему знаменателю:

После приведения подобных в числителе получим

Так как

то требуется решить неравенство

Методом интервалов

находим решение:

Ответ:

Задания:

1Наити область  определения функции:

2.Найти область определения функции:

: 3. Решить неравенство:

 4.Решить неравенство:

5.Решить неравенство:

6 Решить неравенство:

Глава 2.Тригонометрические уравнения и неравенства.

п 1.Уравнения, сводимые к алгебраическим.

Это уравнения, сводимые к одной и той же функции относительно одного и того же неизвестного выражения ,входящего только под знак функции. Нужно знать все тригонометрические формулы .

               и           

Пример 1:  Решить уравнение: 2+tg x ctg + ctg x tg=0

ОДЗ:

 По формулам половинного аргумента

ctg,  tg

поэтому

2++=0

2++=0

4сos²x+4cosx+1=0

пусть cosx=y, тогда получим уравнение:4у²+4у+1=0

                                                                     у=-

cosx= -

x=±

Ответ: x=±

Пример2:Решить уравнение:ctg⁴2z+sin^-42z=25

ОДЗ: sin 2z≠0

Из условия:

cos⁴2z+1-25sin⁴2z=0

(cos²2z)²+1-25sin⁴2z=0

(1-sin²2z)²+1-25 sin⁴2z=0

Получаем биквадратное уравнение относительно sin2z:

12 sin⁴2z+ sin²2z-1=0

получим:

sin2z=±

2z=±=,k

Ответ: z=,k

Задания:

1.Решить уравнение: tg(-ctg²x-sin^-2x (1+cos2x)=0

2.Решить уравнение:(cos6x-1)ctg3x=sin3x

3. Решить уравнение: sin⁴x+ cos⁴x= sin2x-0,5

4.Решить уравнение: 1- cos6х= tg3х

5.Решить уравнение:7+4 sinх cosх+1,5 (tgх+ctg x)=0

6. Решить уравнение: sin⁴x- cos⁴x= cos x

7. Решить уравнение:2(х-6) cos x=х-6

8.Решить уравнение:

9.Решить уравнение: =0

10.Решить уравнение: =sinx

п.2 Однородные уравнения.

Пример 1. Решить уравнение: 2sin³x+2sin²xcosx-sinxcos²x-cos³x=0

Перепишем уравнение в виде:

2sin²x (sinx+cosx)- cos²x(sinx+cosx)=0

(sinx+cosx)( 2sin²x- cos²x)=0

sinx+cosx=0,   разделим  обе части уравнения на cosx

2sin²x- cos²x=0, разделим обе части  уравнения на cos² x

Тогда:

1) tgх=-1

2) tg² х=

Откуда:

Х₁=-   х_2,3=

Ответ: Х₁=-   х_2,3=

Пример2 : Решить уравнение: (sin4x+cos4x)²=16 sin2xcos³ 2x-8 sin2xcos2х

Из условия имеем:

sin² 4x+2sin4xcos4x+cos² 4x=8(2 sin2xcos2x) cos² 2x-4(2 sin2xcos2x)

Используя формулы тригонометрических функций двойного аргумента, имеем:

sin² 4x+2 sin4x cos4x+cos² 4x=8 sin4x (1+cos4x)-4 sin4x

sin² 4x+2 sin4x cos4x+cos² 4x=4sin4x(1+cos4x-1)

sin² 4x+2 sin4x cos4x+cos² 4x=4 sin4x cos4x

Приводя подобные, получим

sin² 4x-2 sin4x cos4x+cos² 4x=0

или,  используя формулу квадрата разности :

(sin4x-cos4x)²=0

откуда

sin4x-cos4x=0, резделим обе части уравнения на cos4x0

tg4х=1

     4х=    х=

     Ответ:

Пример3:Решить уравнение:  cos²x+ sinx cosx=0

В условии не указано ,что cosx,а потому делить уравнение на cos²x нельзя.Но можно утверждать ,что sinx0, так как в противном случае cosx=0,что невозможно одновременно.Разделим обе части уравнения на sin² x, получим

сtg² х+ctg x=0

сtg х(ctg x+1)=0

1)ctg x=0,    х=

2) ctg x= -1,          х=

Ответ: х=

           х=

Задания:

1) Решить уравнение: cos^-13x-6cos3x=4sin3x

2) Решить уравнение: 3sin2x+2cos2x=3

3) Решить уравнение: 4sinx+cosx=4

5) Решить уравнение: 4sinxcos()+4sin(+x)cosx+2sin(-x)cos(+x)=1

6) Решить уравнение: sinx+sin3x=4cos³x

7) Решить уравнение: sin2x+cos2x=

8) Решить уравнение: -6cos3x=4sin3x

9) Решить уравнение: 4cosx+2sinx=-4

10) Решить уравнение: 4sin2x-3cos2x=3

п.3Уравнения,решаемые разложением на множители

При решении уравнений этого параграфа нужно пользоваться всеми известными способами разложения на множители алгебраических выражений .Это вынесение за скобки общего множителя, группировка,применение формул сокращенного умножения и деления и искусственные приемы. Необходимо также знать формулы :

Пример 1.Решить уравнение:

ОДЗ:

Из условия: 

откуда

и

tg=1

Ответ:

Пример 2.Решить уравнение:

Перепишем уравнение в виде:

Два случая:

Ответ:

Задания:

1.Решить уравнение:

2. Решить уравнение:

3. Решить уравнение:

4. Решить уравнение:

5. Решить уравнение:

6. Решить уравнение:

7. Решить уравнение:

8. Решить уравнение:

9. Решить уравнение:

10. Решить уравнение:

11. Решить уравнение:

 п.4 Уравнения, решаемые с помощью условия равенства одноименных тригонометрических функций.

Теорема 1. Для того чтобы синусы двух углов были равны, необходимо и достаточно выполнение одного из следующих условий: разность этих углов должна равняться , умноженному на четное число, или сумма этих углов должна равняться , умноженному на нечетное число.

Теорема 2. Для того чтобы косинусы двух углов были равны, необходимо и достаточно выполнение одного из следующих условий: разность этих углов должна равняться произведению на четное число.Сумма этих углов должна равняться произведению числа π на четное число.

Теорема 3. Для того чтобы тангенсы двух углов были равны, необходимо и достаточно одновременное выполнение двух условий: тангенс каждого из данных углов существует и разность этих углов равна числу , умноженному на целое число.

Пример 1.Решить уравнение.

sin 3х=sin 5х.

Решение. На основании условий равенства двух синусов имеем: 1) 5х-3х=2,2х=2, х=,, или 2) 3х+5х=(2+1), х=(2+1). Ответ: х=

Пример 2.Решить уравнение.

sin 5x=-sin х.

Решение. Заменим уравнение равносильным : sin 5x=sin (-x). На основании условий равенства двух синусов имеем: 1) 5х - (-х)=2,6х=2или 2) 5х+(-х)=(2+1),х=(2. Ответ:

Пример 3.Решить уравнение.

cos 3x=sinx.

Решение. cos 3x=cos.Воспользуемся равенством косинусов двух углов:  1) 3х- 4х=(4n+1) или 2) 3х+. Ответ: х=(4n+1)

Пример 4.Решить уравнение.

tg 3x tg

Решение. Делим обе части уравнения на tg 3x.Это допустимо, так как в данных условиях tg 3x не может равняться нулю:

tg tg или    tg  На основании условия равенства тангенсов двух углов имеем: 5х+; 8х= х=(6n+1)При каждом значении х их этой совокупности каждая из частей уравнения tg существует. Ответ: (6n+1).

Задания:

1.Решить уравнение

sin 2x=sin5x

2Решить уравнение

sin3x=cosx

3.Решить уравнение

cos3x=sinx

4Решить уравнение

tg2x=tgx

5.Решить уравнение

tg

6.Решить уравнение

sin t-sin t=0

7.Решить уравнение

tg(x+1)ctg(2x+3)=1

8.Решить уравнение

tg(t-1)ctg2=1

9.Решить уравнение

sin5x=cos7x-cos

П.5Уравнения, решаемые с помощью формул сложения тригонометрических функций

Нужно знать формулы суммы и разности тригонометрических функций.А также:

1)            2)ctg

3)

Пример 1.Решить уравнение:

Имеем

откуда

и

Тогда:

и

Ответ:

Пример 2.Решить уравнение:

ОДЗ

Используя формулу

перепишем уравнения в виде

откуда:

1)

sin3x=0

2)

cos3x-cosx

1)

3=

По ОДЗ:

поэтому

Ответ:

Задания:

1.Решить уравнение:

2 Решить уравнение

3. Решить уравнение

4.  Решить уравнение

5.  Решить уравнение

6. Решить уравнение

7.  Решить уравнение

8. Решить уравнение

п.6 Уравнения, решаемые с помощью формул сложения углов и разложения произведения тригонометрических функций в сумму.

Нужно знать формулы сложения углов и разложения  произведения тригонометрических функций в сумму:

sin

Пример1:Решить уравнение:

 Применим формулу

sin

запишем уравнение в виде

приведя подобные слагаемые , получим:

Используя формулу для суммы синусов, получим

1)

2)cos3x=0,

Ответ:

Пример2:Решить уравнение:

ОДЗ:

Перепишем уравнение в виде:

Приводя к общему знаменателю , получим:

Используя формулу для синуса разности:

Ответ:

Задания:

1) Решить уравнение:

2) Решить уравнение:

3) Решить уравнение:

4) Решить уравнение:

5) Решить уравнение:

6) Решить уравнение:

7) Решить уравнение:

8) Решить уравнение:

9) Решить уравнение:

10)Решить уравнение:

п.7 Уравнения, решаемые с помощью формул понижения степени.

Формулы понижения степени.

                и                    и

Пример 1: Решить уравнение:

По формулам понижения степени получим:

 Приведя подобные получим:

используя формулы суммы косинусов, получим:

cos8x(2cos2x+1)=0

1) cos8x=0

8x=

2)2cos2x+1=0,

cos2x=-

2x=

Ответ:

Пример2.Решить уравнение:

Перепишем уравнение в виде:

1)

2)2cos2x-1=0,

cos2x=

2x=

Ответ:

Задания:

1)Решить уравнение:

2) Решить уравнение:

3) Решить уравнение:

4) Решить уравнение:

5) Решить уравнение:

6) Решить уравнение:

7) Решить уравнение:

8) Решить уравнение:

9) Решить уравнение:

     10)Решить уравнение:

п.8 Уравнения вида asin x+bcos x=c,где а, в, с -  действительные числа.

Пример 1. Решить уравнение:

4 sin x+cos x=4

Воспользовавшись основным тригонометрическим тождеством, перепишем уравнение в виде:

4sin

Воспользовавшись формулами двойного аргумента, получим

8sin

Приводим подобные:

5sin²

Разделим полученное уравнение на квадрат косинуса.

Получим квадратное уравнение относительно тангенса:

5tg²

^{его корни:}

¹⁾

2)

Ответ:

Пример 2.Решить уравнение:

sin z-sin²z=cos²z-cos z

По условию имеем:

sin z +cos z-

Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством:

sin z+cos z-1=0

Повторно воспользуемся основным тригонометрическим тождеством:

sin

Используя формулы для синусов и косинусов двойного угла, получим

2sin

Приводим подобные:

2sin

Выносим общий множитель:

2sin

Два случая:

1) sin

2)cos

tg

Ответ:

Задания.

1.Решить уравнение

sin 3z-cos 3z=

2.Решить уравнение

3 sin 5z-2cos 5z=3

3. Решить уравнение

2 sin z-cos z=

4.Решить уравнение

sin 2z-4cos 2z=4

5.Решить уравнение

2 cos x+2 sin x =

6.Решить уравнение

cos x-sin x=1,5

7.Решить уравнение

sin 2x+cos 2x =sin 3x

8. Решить уравнение

sin

9. Решить уравнение

cos x+sin x=

П .9.Уравнения, содержащие обратные тригонометрические функции.

,        ,

, 

,,

,,если

,, если R

Пример 1:Решить уравнение: 4 arctg(x²-3x-3)-=0

Решение: arctg(x²-3x-3)-= .  Так как значение арктангенса находится в промежутке (-; ), то в этом случае из  равества углов следует равенство функции.

Получим:   x²-3x-3=1, откуда х=-1, х=4.

Ответ: х=-1, х=4.

Пример 2:Решить уравнение: arctg(1+х)+ arctg(1-х)= .

Решение:  Обозначим arctg(1+х)=, arctg(1-х)= β.  Используем формулу tg(+β)=

tg(arctg(1+х)+ arctg(1-х))= tg

=1,

х=√2,   х=-√2.

 Ответ: х=√2,   х=-√2.

Пример3:Решить уравнение:  arcsin - arcsin= arcsin.

Решение: Воспользуемся равенствами: sin(arcsin)=x, cos(arcsin)==.Следовательно ,взяв синусы  от обеих частей уравнения, получим: -*=,  х=2/3.

Ответ: х=2/3.

Задания:

1)Решить уравнение:3 arcsin²х-10 arcsinх+3=0

2)Решить уравнение: 6 arcsin(x²-6x+8,5)= .

3)Решить уравнение:

4) Решить уравнение:

5) Решить уравнение:

6) Решить уравнение:

7) Решить уравнение:

8) Решить уравнение:

10) Решить уравнение:

П.10 Тригонометрические неравенства.

Пример 1:Решить неравенство:  sin x + cos 2x>1

Решение :

sin x>1- cos 2x,

sin x>2 sin² x,

2 sin² x-sinx<0,

 sinx(2 sinx-1)<0.

Обозначим sin=у,           тогда  у(2у-1)<0.

                                     у₁=0,          у₂=1/2. 

Следовательно 0<y<,               0< sin x<

Решением неравенства будет интервал

2kπ<x<+2k π     или           π+2п π<x< π+2 πn, где k и п Z

Ответ:

Пример2: Решить неравенство:,

,

Ответ:

Задания:

1)Решить неравенство:

2) Решить неравенство:

3) Решить неравенство:

4) Решить неравенство:

5) Решить неравенство:

6) Решить неравенство:

7) Решить неравенство:

8) Решить неравенство:

Глава3 Уравнения и неравенства с модулем.

п.1 Уравнения, содержащие знак абсолютной величины.

Наиболее распространенный метод решения уравнений с модулем по определению модуля.

Пример 1:Решить уравнение:  х²-4|х+1|+5х+3=0

ЕслиХ+1≥0

        Х≥-1          то    х²+х-1=0

                          Х=

Если  х<-1        то  х²+9х+7=0

                                 Х=

Ответ:         Х=;           Х=

Пример 2:Решить уравнение:  |2х+1|+|5-3х|+1-4х=0

Выражение под знаком модуля обращается в ноль при х=-1/2 и х=5/3. Соответственно нам нужно рассмотреть три случая:

1)х<-1/2 в этом случае  получаем -2х-1+5-3х+1-4х=0

                                                            х=5/9 не удовлетворяет условию    

                                                                                                     х<-1/2

2)-1/2≤х<5/3,  в этом случае  получаем 2х+1+5-3х+1-4х=0

                                                                         х=7/5

3)х≥5/3,  в этом случае  получаем 2х+1-5+3х+1-4х=0

                                                               х=3

 Ответ: х=7/5,х=3

Можно действовать иначе , исходя из того , что равенство,  означает, что ,

Пример 3:Решить уравнение: |3х²+5х-4|=2х-1

 Этому уравнению соответствуют два уравнения:

3х²+5х-4=2х-1         и      3х²+5х-4=-2х+1

среди корней нужно   отобрать  удовлетворяющие условию х≥1/2

 В первом имеет корни ; подходит первый корень. Корни второго уравнения ,вновь остается первый корень.

Ответ: ,

Задания:

1)Решить уравнение:      |х-2|=3

2)Решить уравнение:  |5х²-3|=2

3) Решить уравнение: 

4) Решить уравнение: 

5) Решить уравнение: 

6) Решить уравнение:

7) Решить уравнение:1+х+

8) Решить уравнение:х

9) Решить уравнение: х

10) Решить уравнение:

11) Решить уравнение:

п.2 Неравенства ,содержащие знак абсолютной величины.

Пример 1:Решить неравенство:

X²-3x+2 отрицателен при и неотрицателен при остальных х,2х+1 меняет знак при х=-.Следовательно ,нам надо рассмотреть три случая.

1. В этом случае X²-3x+2>0, 2x+1<0.Получаем неравенство X²-3x+2-2х-15, X²-5-40.Его решение.С учетом условия х<-

находим

2.Имеем неравенство X²-x-0.Его решение .Следовательно, весь отрезок удовлетворяет неравенству.

3.1<x<2.получаем X²-5+60,  или   .Вновь подходит весь интервал.

4.. Неравенство тоже что и в случае 2. Подходит  лиш х=2.

Ответ:

Другой подход к неравенствам с модулем состоит в следующем.Неравенство  эквивалентно системе

А неравенство  эквивалентно объединению неравенств:

Пример2:Решить неравенство: |х-1|<2

Ответ:

Задания:

1)Решить неравенство: |х-1|<3

2) Решить неравенство: |х-2|> 5

3)Решить неравенство: >-3

4) Решить неравенство: |3х+1|≥7х+5                                     

5) Решить неравенство:

6) Решить неравенство:

7) Решить неравенство: |х+2|+|5х-2|>|3х+4|

8) Решить неравенство:

9) Решить неравенство:

10) Решить неравенство:

11) Решить неравенство:

12) Решить неравенство:

Глава 4. Иррациональные уравнения и неравенства

п.1. Иррациональные уравнения

Пример 1.Решить уравнение:

+=

ОДЗ:

Возводим в квадрат обе части уравнения:

Еще раз возводя в квадрат, получаем: 

Отсюда имеем

 не входит в ОДЗ

Проверяя х=4 непосредственной подстановкой в исходное уравнение, имеем:

Ответ:

Х=4

В некоторых иррациональных уравнениях  проверка вызывает трудности .

Пример2.Решить уравнение:

Уравнение равносильно системе

Необходимо корни  сравнить с числом .

Легко проверить, что а

Ответ:

Задания.

1.Решить уравнение:

2.Решить уравнение:

3.Решить уравнение:

4. Решить уравнение:

5.Решить уравнение:

6. Решить уравнение:

7. Решить уравнение:

8. Решить уравнение:

9.Решить уравнение:

10.Решить уравнение:

11.Решить уравнение:

п.2.Иррациональные  неравенства

Пример 1. При каких  значениях х функция принимает положительные значения

Учитывая ОДЗ, из условия можно получить систему неравенств:

В первом неравенстве переносим один из радикалов в правую часть и возводим неравенство в четвертую степень:

Приводя подобные, получаем:

С помощью числовой прямой находим искомый интервал аргумента:

Рисунок числовой прямой:

Ответ:

Пример2.Решить неравенство:

Данное неравенство равносильно системе неравенств:

Откуда, приводя подобные, получаем:

Так как для любых действительных неравенств эквивалентна следующей:

Методом интервалов

находим

Ответ:

Задания.

1.Решить неравенство:

2. Решить неравенство:

3. Решить неравенство:

4. Решить неравенство:

5. Решить неравенство:

6. Решить неравенство:

Глава 5.Теория множеств

П.1 Множества. Операции над множествами.

Пример 1. Даны два множества   и . Найти следующие множества:

Решение. Множества А и В – конечные и легко перечислить их элементы: Так как объединению множеств А и В принадлежат элементы, входящие в А и В, при этом одинаковые элементы зачисляются только один раз, то По определению, в множество должны входить те элементы множества А, которые не принадлежать множеству В. Поэтому  Аналогично, множество  Пересечению множеств принадлежат элементы, входящие одновременно в множество А и в множество В. Следовательно,

Пример 2. Из 20 человек двое изучали только английский язык, трое только немецкий, шестеро – только французский. Никто не изучал трех языков. Один изучал немецкий и английский, трое – французский и английский. Сколько человек изучало французский и немецкий языки?

Решение. Обозначим через А множество учеников, изучавших английский язык,  через В – немецкий язык, через С – французский язык. По условию  содержит один элемент,  - содержит три элемента, Æ (никто не изучал сразу три языка). Требуется определить количество элементов в пересечении . Изобразим эти множества на диаграмме Венна.

                                                                       2

                                                          1                       3

                                                                       0     

                                                               3             6

                                                                        ?

Объединение множеств  содержит 20 элементов. Из диаграммы видно, что множество  должно содержать 20-1-2-3-6-3=5 элементов. Значит, французский и немецкий изучали 5 человек.

Задания:

Задание 1.  Найти область определения функции

Задание 2. Даны два множества на координатной плоскости  . Изобразить на чертеже следующие множества:

Задание 3. Напишите первые пять элементов занумерованного счетного множества, n-й элемент которого равен

Задание 4. Пусть заданы множества А, В и С такие, что А=[1;6] B=(5;8), C={1;3;5;9}.Найдите:

Задание 5. Пусть заданы множества А, В, С такие, что

 Найдите из каких цифр состоят множества А, В и С

Задание 6. На конференции присутствуют 33 человека из Англии и России. Каждый участник владеет хотя бы одним языком (русским или английским). Из них знают английский и русский языки 17 человек. Сколько человек владеет только английским, если их в три раза больше чем тех, кто знает только русский язык?

Задание7:Из 220 школьников 163 играют в баскетбол,175- в футбол, 24 не играют в эти игры .Сколько человек одновременно играют в баскетбол и футбол?

Задание 8. Упростите выражение 

Задание 9. Даны два множества : А={6k+5:k=0,1,2,…..}   u B ={ 3m+2: m=0,1,2,….}.

Найдите :  а)  АВ;   б)АВ;  в)В\А.

Задание 9. Даны два множества : А={6k+5:k=0,1,2,…..}   u B ={ 3m+2: m=0,1,2,….}.

Найдите :  а)  АВ;   б)АВ;  в)В\А.

Установите , является ли соответствие f:АВ , заданное формулой  взаимно однозначным.

Задание 10. . Даны два множества : А={2k:k=0,1,2,…..}   u B ={ 2m+1: m=0,1,2,….}.

Найдите :  а)  АВ;   б)АВ;  в)В\А.

Установите , является ли соответствие f:АВ , заданное формулой у=х+1 взаимно однозначным.

Задание 11.Запишите с помощью формул и множеств А,В,и С заштрихованное можество.

п.2 Математическая логика. Высказывания. Конъюнкция и дезъюнкция высказываний.

Пример 1: Правильно ли рассуждение ,имеющее форму: «Все х являются у и некоторые у не являются z. Значит некоторых  не являются z?»

Решение: Обозначим через А,В,С множества ,элементами которых являются соответственно х,у, z.Тогда условия примера означают, что АВ,В\СǾ.На диаграммах  это можно изобразить так:

или

Из диаграмм видно, что разность А\С может быть пустым множеством или случайно оказаться непустым множеством, т.е. все х из множества А могут принадлежать множеству С или иногда некоторые х из множества А могут  не принадлежать  множеству С.Такие х не являются z.Значит , рассуждение неправильное. Если при этом условия задачи истинны, то заключение может быть ложно.

Пример2:Укажите , какие из следующих предложений являются высказываниями , и определите истинны они или ложны.

А)

Б)Все треугольники –равнобедренные.

В)Вы были в театре?

Г)

Д)

Е)┴

Решение: Среди приведенных предложении высказываниями являются те , про которые можно сказать , истинны они или ложны. Значит предложения А),Б),Д) являются высказываниями , причем А) и Д) истинны Б)- ложно. Предложения В),Г),Е) не являются высказываниями . Отметим , что Г) и Е)- неопределенные высказывания.

Задания:

Задание1.Среди приведенных сложных высказываний выделите конъюнкции и   дизъюнкции и определите , истинны они или ложны:

А)Число 27 кратно 3 и 9.

Б)Число 2- простое и четное .

В)Если треугольник равнобедренный, то он равносторонний.

Г)Дважды два равно пяти или небо голубое.

Задание2.Даны высказывания :а(Я купил велосипед), в(Я участвовал в соревнованиях по велоспорту), с:( Я путешествовал по Англии). Сформулируйте  высказывания , соответствующие следующим выражениям:

А)ав,  б)а в,  в), г),  д),  е)

Задание3:Определите значение истинности следующих высказываний:

А)если 16 делится на 4 , то 16 делится на 2.

Б)если 2*2=4, то 7²=81.

В)если телепатия существует, то некоторые физические законы требуют пересмотра.

Г)18 делится на 4 тогда и только тогда , когда 18 делится на 2.

Д)сумма внутренних углов любого треугольника меньше 180⁰ тогда и только тогда, когда 2>3.

Задание4:На множестве N всех натуральных чисел заданы неопределенные высказывания p(x): (Число х – четное) и g(x): (Число х кратно 4).Сформулируите следующие высказывания , пользуясь обычным языком , и укажите среди них истинные:

А),  Б),  В),   Г).

Задание5:Запишите следующие высказывания пользуясь кванторами:

А)всякое число равно самому себе.

Б)каково бы ни было число у, квадрат его неотрицателен.

В)всякое число либо положительно , либо отрицательно, либо равно нулю.

Г)существует х такое,что х-2=5.

Д) по крайней мере одно число х  является корнем уравнения 2х²+3х+1=0.

Задание6:Если множество М={(x,y):2x-y-1=0}, то : а)(1,1)М, б)(2,-1)М,

В),  г).

Какие из вышеприведенных высказывании истинны а какие ложны?

Задание7:Если N={натуральные числа}

M={положительные числа}

P={простые числа}

Q={положительные нечетные числа}

То истинны ли высказывания : а) ,  б), в), г)?

Задание 8:Правильно ли рассуждение, имеющее форму: «Все х являются у и ни одно х не является z; значит, все у не являются z»?

Задание 9:Укажите , какие из следующих предложении являются высказываниями , установите истинность простых высказываний. В сложных высказываниях выделите конъюнкцию и   дизъюнкцию , установите их истинность . Из простых высказываний выберите любые два и сформулируите их отрицание , конъюнкцию и   дизъюнкцию.

1.8833<88²+33².

2. .

3.

4.Треугольник называется равносторонним, если его стороны равны между собой.

5.Антонио  Вивальди –итальянский композитор.

6.Марс и Венера –планеты солнечной системы.

7.10<9+1 тогда и только тогда , когда 9<8+1.

8.Христофор Колумб открыл Америку или Африку.

9.Если-3<-1, то 3²=6.

10.Число 15 делится на 5 и на 2.

П.3Метод математической индукции.

Пример1:Методом математической индукции доказать , что при всех натуральных n имеет место равенство:

Решение:а)Подставим n=1 в данную формулу и получим:

Равенство выполняется.

Б)Пусть k-любое натуральное число  и пусть равенство выпрлняется при n=k,т.е.:

Докажем , что тогда равенство будет выполнятся и для натурального числа n=k+1,т.е. докажем что

В силу предположения индукции в левой части этого равенства произведение всех множителей , кроме последнего , можно заменить на один множитель.Тогда будем иметь:

Как видим в этом случае равенство выполняется .Значит, формула верна для всех n.

Задания:

Задание1:Любой член арифметической прогрессии можно вычислить по формуле .

Доказать эту формулу методом математической индукции.

Задание2: Любой член геометрической прогрессии можно вычислить по формуле

Доказать эту формулу методом математической индукции

Задание3: Докажите ,что:

2+6+10+………+2(2n-1)=2n²

Задание4: Докажите ,что:

2+10+24+…..+(3n²-n)=n²(n+1)

Задание5: Докажите ,что:

1*2+2*5+3*8+……..+n(3n-1)=n²(n+1)

Задание6: Докажите ,что:

1³+2³+3³+………+n³=

Задание7:Выведите формулу суммы

Глава 6.Начала математического анализа.

П.1 Предел Свойства предела.

Пример1:Найти предел:

Функция f(x)= в точке х=2 не определена.Разложив числитель на множители , представим эту функцию в виде

f(x)=

в области определения функции f(x) выражение х-20, поэтому дробь можно сократить на х-2. Тогда получим

== f(2)=6

Пример2: Найти предел:

Умножить числитель и знаменатель дроби на

Задания:

Найти пределы:

1)

2)

3)

4)

5)

6)

Вычислите пределы, а затем подтвердите или опровергните  данные утверждения.

7)

8)

9)

П. 2 Производная .Применение производной к исследованию функций.

Задания:

Найти экстремумы функции, указать промежутки их возрастания и убывания, а также начертить эскизы графиков функций.

1) у=--2х+3

2) у=х⁴-10х²+9

3) у=8+2х²-х⁴

4 ) у=

п.3Наибольшее и наименьшее значения функций.

Решить задачу:

1)  В арифметической прогрессии шестой член равен 3 , а разность прогрессии больше 0,5.Прт каком значении разности этой прогрессии произведение первого, четвертого и пятого ее членов является найбольшим.

2) В прямоугольный треугольник с гипотенузой 24 см и углом 60⁰ вписан прямоугольник ,основание которого лежит на гипотенузе. Каковы должны быть длины сторон прямоугольника , чтобы его площадь была наибольшей? 

3) Величина угла при основании равнобедренного треугольника равна α.При каком значении α  отношение длин радиусов вписанной и описанной окружностей является наибольшим? Чему равно это отношение?

4) Из пункта А на прогулку вышел пешеход со скоростью Vкм/ч.После того как он отошел от А на 6 км, из А следом за ним выехал велосипедист, скорость которого была на 9 км/ч больше скорости пешехода. Когда велосипедист догнал пешехода, они повернули назад и возвратились вместе в А со скорость 4км/ч. При каком значении V время прогулки пешехода окажется наименьшим?